Harapan matematis, dilambangkan sebagai $E(X)$ atau $\mu_X$, berfungsi sebagai ukuran dasar tendensi sentral untuk variabel acak. Ini mewakili nilai rata-rata jangka panjang yang diperoleh dari percobaan berulang. Secara fisik, ini adalah pusat massa dari distribusi probabilitas, dihitung sebagai jumlah tertimbang secara probabilitas dari semua hasil yang mungkin.
Definisi Formal
Untuk variabel acak diskret, kita mendefinisikan nilai harapan berdasarkan Fungsi Massa Probabilitas (PMF):
Definisi 3.1.1
Misalkan $X$ adalah variabel acak diskret. Nilai harapan adalah:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Definisi 3.1.2
Jika $X$ mengambil nilai-nilai berbeda $x_1, x_2, \dots$ dengan probabilitas $p_i$, maka:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
Hukum Statistik Tanpa Sadar (LOTUS)
Untuk menemukan harapan dari variabel tertransformasi $g(X)$, kita tidak perlu mencari densitas $g(X)$ terlebih dahulu.
Teorema 3.1.1 (LOTUS)
Untuk fungsi $g$ apa pun, nilai harapan dari $g(X)$ adalah jumlah nilai fungsi yang diberi bobot oleh probabilitas asli:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Sifat-Sifat Utama
- Linearitas (Teorema 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Ini tetap berlaku bahkan jika $X$ dan $Y$ saling bergantung!
- Monotonitas (Teorema 3.1.4): Jika $X(s) \le Y(s)$ untuk semua hasil $s$, maka $E(X) \le E(Y)$.
- Kemandirian (Teorema 3.1.3): Jika $X$ dan $Y$ independen, maka $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Contoh 3.1.6: Indikator
Untuk fungsi indikator $I_A$, di mana $X=1$ jika $A$ terjadi dan $0$ sebaliknya:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$